两个 高中生 发现的 勾股定理 新证明，现在论文来了。
而且就在刚刚，数学大神 陶哲轩 在看完这篇论文之后评价道：
这两位高中生分别是 Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson 。
她们在2022年发现勾股定理新证明的时候，正就读于美国新奥尔良的圣玛丽学院（St. Mary’s Academy）。
△左：Ne’Kiya Jackson；右：Calcea Johnson
勾股定理想必大家都已经非常熟悉了，包括那句耳熟能详的 “勾三股四弦五” ，以及它的基本公式。
虽然这个定理已经有 2500多年 的历史，但毫不夸张地说，它的重要性依然贯穿于现代数学之中。
当时她们二人提出新证明时，可以说是在圈内引起了不小的轰动。
因为长期以来，数学家们基本上都采用代数和几何的方法来证明这个定理。
但她们采用的却是 三角学 （Trigonometry，基于对角度及边长之间关系的直接推导）这个数学分支来做证明。
这是特别具有挑战性的一件事情。
因为三角学在很大程度上就是基于勾股定理，大多数情况下就会导致所谓的 “循环论证” （circular reasoning），即证明过程中偷用了待证的结果。
早在1927年，数学家Elisha Loomis就曾断言道：
然而，就是这么一个看似“不可能”的方法，却被两位高中生给突破了。
要知道，当时跟她俩采用类似方法做过证明的，只有2位专业的数学家——Jason Zimba和Nuno Luzia，分别于2009年和2015年提出。
而现如今，二人正式在 《美国数学月刊》 公布了论文，把证明过程的细节内容都亮了出来，也得到了陶哲轩的认可。
更重要的是，这篇论文不仅详细介绍了 五种全新的证明方法 ，她们还提出了一个系统性的方法，预计能够生成至少五种额外的新证明。
换言之， 五个新证明是保底的，也可以达到十个！
其中，只有一个证明是她们在2023年3月参加学术会议时展示过的，另外九个是全新的。
那么她们二人到底是如何做到，我们继续往下看。
三角学证明和三个先决条件
首先，我们来了解她们二人对 三角学证明 的解释。
三角学证明是使用三角函数的性质、恒等式和基本定理来证明几何或代数命题的方法。
它通常利用三角函数（如正弦、余弦、正切等）之间的关系，结合已知的三角恒等式和公式来得出结论。
实际上，正弦和余弦的三角比率是为一个锐角α定义的，通过创建一个直角三角形ABC，其中α是两个锐角之一，然后比较三条边中的两条的长度：
sinα定义为对边BC与斜边AB的比值，cosα是邻边AC与斜边的比值。
但是，通过测量直角三角形来定义正弦或余弦只对锐角有效，所有其他角度需要一个完全不同的方法。
对于这些角度，她们使用单位圆：
从点(1, 0)开始，向逆时针方向（对于负角是顺时针方向）沿着圆移动，直到达到所需的中心角α，最终到达点(x, y)。然后我们定义cosα = x和sinα = y。
对于一个锐角，这两种方法给出的正弦或余弦函数值是相同的，如图1所示：
但只有第一种方法可以合理地被称为三角学的，第二种方法可能被称为圆的（cyclotopic）会更恰当一些，如图2所示：
实际上，这两种方法之间的区别意味着，通过余弦定理（我们从c² = a² + b² − 2abcosγ开始，让γ成为一个直角）来证明勾股定理是一个圆的证明，而不是一个三角学的：
三角学不能计算一个直角的余弦值，而圆的测量告诉我们cos(90°) = 0。
同样，使用cos(α − β)的公式（让α = β在恒等式cos(α − β) = cosαcosβ + sinα*sinβ中）来证明勾股定理也是圆的而不是三角学的，使用sin(α + β)的公式也是如此，其中α和β是互补角。
声称一个证明是三角学的也可以基于其他理由被否认。
例如，勾股定理最著名的证明之一使用了相似性△ABC ∼ △ACD ∼ △CBD，如图3所示：由于a/c = x/a和b/c = y/b，有c = x + y = a²/c + b²/c，从而得出a² + b² = c²。
但这个证明可以很容易地被改写为三角学。
由于a/c = x/a = sinα，有x = asinα = (csinα)sinα = csin²α，同样y = ccos²α。然后c = x + y = c(sin²α + cos²α)，从中得出1 = sin²α + cos²α = (a/c)² + (b/c)²，因此a² + b² = c²。
但在这里使用三角学术语并没有增加任何东西——事实上，它只会使相同的方法更加复杂——因此可以说这个证明使用了相似三角形，而不是三角学。
更一般地，任何证明a² + b² = c²的证明都可以通过将csinα写作a和ccosα写作b（或者通过重新缩放边a、b和c到sinα、cosα和1）来改写为“三角”证明。
首先证明sin²α + cos²α = 1，之后反向替换sinα = a/c和cosα = b/c以显示a² + b² = c²。
这种幻觉显示需要对一个“三角”勾股定理的证明持怀疑态度，这种证明以这种迂回的方式工作（即，首先证明恒等式sin²α + cos²α = 1）以确保“三角学”不仅仅是使用正弦和余弦术语对边长的不必要重述。
为了确保证明勾股定理的过程不依赖于循环论证，她们二人在论文中提到了 三个先决条件 （preliminaries）：
角度加法公式主要用于三角函数中的正弦和余弦运算。
对于锐角α、β 和 α+β，正弦和余弦满足以下关系：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
这些公式可以确保在不依赖勾股定理的情况下，能够对正弦和余弦进行直接计算，从而保持证明的严谨性和独立性。
正弦定理被用于分析某些三角形中边长之间的关系。
正弦定理的核心是描述了三角形各边的比例关系，当已知两个角和它们的对边时，可以确定第三边的长度。正弦定理表述如下：
这些公式用于接下来的证明中的多个步骤，特别是用于连接和计算不同边长，以便在已知特定角度的情况下得出边长关系。
等腰直角三角形中，两个直角边相等，这种对称性简化了许多计算。这种特殊三角形的边长关系，直接得出边长满足勾股定理：
因此，对于等腰直角三角形，证明过程变得更加简洁，因为两边的平方和直接等于斜边的平方。
接下来，就到了关键的证明部分。
五至十个勾股定理新证明
为了便于阅读和理解，这部分我们将直接放上证明的原文内容（公式着实不太好展示）。
第一个证明
第二个证明
第三个证明
第四个证明
第五个证明
除此之外，论文还对 具体方法 做了展开介绍。
二人先是提出了一个她们这项研究所要解决的基本问题，即：
将对新三角形的构造限制在那些角度为△ABC的三个角度α、β和 90°（即 α+β）的整数倍之和或差的三角形上。
由此，这个问题的答案变得直接明了。
引理1
a) 如果 △ABC是一个等腰直角三角形（即 α=β=45°），那么所有角度为 α和 β的整数线性组合的三角形都是等腰直角三角形。
b) 如果在直角三角形 △ABC中 α<β，则存在一个直角三角形，其锐角为 2α和 β−α。此外，对于每一对 {α,β}，2α和 β−α是唯一能够形成直角三角形锐角的 α和 β的整数线性组合。
证明
a) 由于等腰三角形 △ABC的三个角度都是 45°的倍数，所以任何新三角形的所有角度（这些角度被限制为 △ABC的角度之和或差）仍然是 45°的倍数，因此我们得到的三角形必定是一个等腰直角三角形。换句话说，如果我们从等腰直角三角形开始，那么无法构造出新的三角形。
b) 现在假设 α<β。如果新构造的直角三角形中的一个锐角为 mα+nβ（其中 m,n∈Z），则其补角为：
90°−(mα+nβ)=(α+β)−(mα+nβ)=(1−m)α+(1−n)β
如果整数 n和 1−n都不为零，那么其中一个（假设为 n）是负数，那么将 n替换为 ∣n∣我们可以看到其中一个角度是 mα−nβ，其中 m>n>0。
但是当 α的度数为 90n/(m+n)时，其补角 β的度数为 90m/(m+n)，这种构造将会产生一个角度 mα−nβ=m⋅90n/(m+n)−n⋅90m/(m+n)=0。
这表明我们必须有 n=0，即其中一个锐角度数是 mα的某个 m∈N。
如果 m=1，那么我们简单地恢复了原始三角形 △ABC。如果 m=2，那么我们得到一个新的直角三角形，其锐角为 2α和 β−α（注意 2α<90°因为 α<45°）。
最后，我们看到 m≥3是不可能的，因为如果 30°≤α<45°，则不会存在这样的三角形。
我们的引理确切地告诉我们如何寻找勾股定理的证明（对于非等腰直角三角形）：从我们的原始三角形ABC开始，我们尽可能多地尝试创建一个新的直角三角形，其角度测量为2α、β − α和90°。
例如，创建一个2α角度的最简单方法是结合两个△ABC的副本，如图13所示。
这创造了等腰三角形ABB’，其角度测量为2α、β和β，所以下一步是取其中一个测量为β的角度，并将其转换为测量为β − α或90度的角度。
为了在顶点B’处创建一个90度的角度，我们构建一个射线，使其与BB’成α角度。如果我们然后延长边AB以在点D处与射线相交，我们就得到了我们第一个证明的图形（图14）。
或者，如果我们在斜边AB的另一侧创建2α角度，并延长BC以在点D处与新射线相交，如下所示，我们得到了直接导致我们第二个证明的图形（图15）。
而至于另外五种证明方法，感兴趣的读者可以点击文末链接查看详情哦。
灵感来自一个高中数学竞赛
但除了这次勾股定理的新证明之外，Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson背后的故事也是值得聊一聊。
在这篇论文的 致谢 部分中，她们也对此做了讲述。
事情的起因是二人当年参加的一场高中数学竞赛，其中就有一道加分题：
于是，她们决定各自挑战这道题目。
然而，这项任务比她们最初预想的要困难得多，二人花费了无数个不眠之夜，反复尝试并失败。经过大约一个月的努力，她们分别完成了自己的证明并提交了作业。
并且她们的数学老师Rich认为证明的方法足够新颖，值得在数学会议上展示。
尽管她们对自己的工作并没有太大的信心，但还是决定尝试一下。
接下来的两三个月中，二人把所有空闲时间都投入到完善和打磨她们的工作中。
她们既独立工作也共同合作，不仅在放学后，甚至周末和假期都在继续努力。
在此过程中，在Rich的指导下，她们创造了更多的证明方法。
尽管她们不确定是否有机会在会议上展示，因为通常只有专业数学家或偶尔的大学生能够在这样的会议上发言，但她们的高中作品最终还是受到了重视，并被批准在2023年3月的美国数学学会东南分会会议上展示。
Ne’Kiya和Calcea是会议中最年轻的与会者和演讲者，虽然她们感到非常紧张，但想到这是她们所有努力的结晶，也让她们有了信心去展示。
她们的演讲获得了成功，随后也受到了美国数学学会的鼓励，将其研究成果提交给学术期刊。
这对二人来说是最艰巨的任务，因为她们对撰写学术论文毫无经验。
当时，她们还在适应大学生活的各种挑战，比如学习LaTeX代码、完成小组的5页论文、提交实验数据分析等。
但在导师们的指导下，再加上大量的个人努力，她们最终完成了论文的撰写。
现在回头看这个过程，Ne’Kiya和Calcea在论文中这样写到：
而对于这篇论文， 陶哲轩 也发表了自己的想法：
除此之外，目前也有不少的数学家已经加入到了讨论中：
完整论文放下面了，感兴趣的小伙伴可以阅读哦~
论文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959
参考链接：[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113391326199704210[2]https://www.sciencedaily.com/releases/2024/10/241028132143.htm
