当静态球对称星球的大小固定时，它的质量上限是多大？具有常数密度的相对论星球，其内部压强是怎样分布的？
5月19日12时，《张朝阳的物理课》第二百一十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先回顾TOV方程的推导，分析TOV方程会出现发散的情况，由此得到了固定大小的星球存在质量上限的初步结论。紧接着，张朝阳在常数密度的情况下求解TOV方程，得到相应的压强分布。根据压强不发散的条件，最终求得常数密度星球的质量上限。
回顾TOV方程 分析方程极点
张朝阳带领网友们回顾从牛顿力学到现在的广义相对论的内容。当处理质点/粒子运动的时候，使用的是牛顿力学；而当需要处理大量粒子的集体运动时，则使用流体力学。在广义相对论中，处理质点的运动则需要求解测地线方程，而处理大量粒子的集体运动时则需要借助相对论性流体的能动张量，通过爱因斯坦场方程来求解。
不管是经典物理，还是广义相对论，一般的流体力学问题都是很复杂的。而对于静态情形，相应的方程会得到极大简化。比如在牛顿引力中，球对称静态星球内部的流体静平衡方程为
其中采用了G=c=1的单位制，ρ是密度（注意，p和ρ都是半径r的函数，这里没有将其对r的依赖显式地写出来），m(r)被定义为
在非相对论情形下，m(r) 是星球在半径r以内的部分所具有质量。
对于相对论性的球对称静态星球，与上述流体静平衡方程对应的是TOV方程，张朝阳在物理直播课中对此方程进行了详细推导。
推导TOV方程需要使用爱因斯坦场方程与静态球对称情形下的能动张量特殊形式：
由此可以得到度规为
其中的A满足
而著名的TOV方程则是
它在非相对论情形会近似于前面介绍的流体静平衡方程。
对比流体静平衡方程与TOV方程可以知道，流体静平衡方程在整个r>0范围上都是定义良好的，方程不会出现极点。而对于TOV方程，如果r=2m(r)，那么dp/dr将会发散。特别是当r<2m(r)时，dp/dr>0，压强随着半径增大而增大。如果从r=0开始逐步增大r直到r<2m(r)，那么压强先减小后增大，这是非常不符合物理常识的。因此，可以预期r<2m(r)的情况不会出现。
事实上，这一点也可以从g^{11}>0的条件出发得到。当r取为星球的半径R时，m(r)=M，于是得到
由此可见，当静态球对称星球的半径R固定时，星球质量需小于R/2。这是一个初步结果，实际上固定大小的星球的质量上限比这更低，应该是M/R<4/9。上式中将1/2写成了4.5/9，这样可以更直接地与4/9的精确结果相比较。
求解常数密度的TOV方程 要求压强不发散即得质量上限
为了得到更严格的固定大小的星球的质量上限，张朝阳以常数密度情形为例，求解了TOV方程。在ρ(r)=ρ_0为常数的情况下，m(r)为
将其代入TOV方程，可得
这明显是一个变量分离的方程，可变形为
上式最后一行将绝对值符号换成了括号，是因为根据前面的初步结论，有
为了将式(1)最左边变成全微分形式，张朝阳设
于是
这样的话就有
注意，上式省略了不定积分的积分常数，最后一行去掉了绝对值符号，这是因为p和ρ_0都大于0。借助这个积分结果，式(1)可以改写为
等号两边消去共同的因子，稍作变形即可得到
微分等于0的量必定等于常数，于是存在常数C_1满足
接下来需要利用边界条件把常数C_1确定下来。在星球的边界r=R处，压强p(R)=0，将其代入上式即得
可以用星球的总质量M来消掉其中的ρ_0，只需注意到
为了让表达式变得简洁，张朝阳设α为
由此可以知道C_1=3α。
对于一般的r，有
将C_1代入式(2)，并使用符号β(r)进行简写，可得
从中解出p为
将β(r)与α的表达式代入上式，即可得到压强随半径的分布为
有了压强随半径的分布情况，张朝阳随即分析起了星球的稳定性。对于一般的物质，能承受的压强是有上限的，因此可以预料当压强超过某个临界值时星球将会坍缩。然而，这里并不知道星球的成分是什么物质，因此无法确定其临界压强。但是，不管是哪种物质，只要压强达到无穷大，必定会超过这种物质的承受范围。
因此，张朝阳将压强发不发散作为星球会不会坍缩的条件。根据TOV方程，压强是随半径增大而递减的，因此只需要判断r=0处的压强是否发散即可。在r=0处，β(0)=1，因此
由条件p(0)>0可以得到
在这个不等式中，α<1是一个平凡的结果，这从α的定义式可以看出来。另一方面，当α从大于1/3的位置出发趋向于1/3时，星球中心处的压强p(0)将会趋向于正无穷，这意味着星球会发生坍缩。根据α的定义，有
于是
这正是密度均匀的静态球对称星球所需要满足的条件，比前面的初步结果M/R<1/2要限制得更严。此结论是广义相对论独有的，在牛顿引力理论中并不存在这样的质量上限条件。这一点与钱德拉塞卡极限类似，对于非相对论性的电子气体，白矮星并不存在质量上限，而唯有考虑相对论效应时才会得到钱德拉塞卡极限。
需要说明的是，虽然此结果的推导是基于密度均匀性，但是它的适用范围非常广，只需要ρ≥0且dρ/dr≥0即可，因此上式可用于目前已知的所有天体。如果回到国际单位制，那么M/R将变成
将太阳的质量、半径数据代入，可以看到这个值是远远小于4/9的。
(张朝阳介绍TOV方程的常数密度解)
据了解，《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。
