数学“猜想界皇冠” 黎曼猜想 ，刚刚取得全新突破！
成果来自（拉里·古斯）和 James Maynard （詹姆斯·梅纳德）——
后者正是那位初出茅庐就让陶哲轩赞不绝口，因优化张益唐“孪生素数猜想”结果一战成名，并于2022年斩获菲尔兹奖的天才数学家。
陶哲轩第一时间在社交媒体上转发了他们的新论文：
实质性改进零点密度估计
论文标题是《New large value estimates for Dirichlet polynomials》（狄利克雷多项式的新大值估计）。
简单来说，古斯和梅纳德的新成果，就是证明了狄利克雷多项式取大值的频率的新界限。
狄利克雷级数的大值问题在解析数论中有广泛而重要的应用。比如，黎曼ζ函数就可以表示为一个狄利克雷级数，其非平凡零点的分布，与ζ(s)在临界线附近的大值密切相关。
根据陶哲轩的科普，令N(σ,T)表示实部至少为σ、虚部至多为T的黎曼ζ函数的零点数量。黎曼猜想告诉我们，对于任意σ>1/2，N(σ,T)都是0。
黎曼猜想目前还没办法无条件地证明，次优的选择是证明零点密度估计，也就是对N(σ,T)给出一个非平凡上界。这里σ=3/4是一个关键值。
1940年，英厄姆得到了一个界，即：
此后的八十年中，数学界一直未能对这个界限有实质性的改进，大部分工作只是对o(1)误差动动脑筋。
这就限制住了数学家们对解析数论的探索，比如，受限于英厄姆界，为了在（x,x+x^θ）形式的几乎所有短区间内得到一个好的素数定理，长期以来数学家们只能处理θ＞1/6的情况。
现在，古斯和梅纳德成功将 3/5=0.6提高到了13/25=0.52 。还是拿上面这个例子来说，θ的范围就可以从θ＞1/6=0.166…提高到θ＞2/15=0.133…（黎曼猜想下θ＞0）。
论文的论证主要基于傅里叶分析。陶哲轩指出，前几个步骤属于标准步骤，许多数学家包括陶哲轩自己都能想到。
但这一次古斯和梅纳德做了一些“巧妙且意想不到”的选择，包括：
他们根据狄利克雷级数的大值点位置，将问题分为加性能量E(W)小、中、大三种情况，并通过参数的变化来处理每种不同情况。
其中，狄利克雷级数中隐含的相位函数 tlogn的精确形式变得非常重要。
菲尔兹奖和数学新视野奖得主们
詹姆斯·梅纳德的名字，关心数论的朋友们想来都不陌生。
作为当今数学界最闪耀的明星之一，他一路斩获拉马努金奖、柯尔奖，并在2022年获得数学界最高奖菲尔兹奖，和2023科学突破奖下的数学新视野奖。
有意思的是，梅纳德的成名之路与华裔数学家们的名字紧密关联在一起。
26岁时，他提出了一个完全独立的、比张益唐更强大的“孪生素数猜想”结果，因此声名鹊起。
而在此过程中，他又与陶哲轩发生了一段“惜才”美谈：梅纳德发表成果之前，得知大牛陶哲轩也在同一问题上，得出了基本相同的结果。但陶哲轩在看过他的证明方法之后，认为其方法比自己的更简洁。
出于惜才之心，陶哲轩主动放弃了和梅纳德联名发表这项研究的机会，以免自己的名气掩盖年轻数学家的成就。
梅纳德的战绩还包括，和Dimitris Koukoulopoulos合作攻克80年数学难题Duffin-Schaeffer猜想，和Thomas Bloom合作改进最著名的无平方差集界限等等。
目前，梅纳德在牛津大学任教授。
拉里·古斯是MIT的克劳德·香农数学教授，同样是一位数学新视野奖得主，他还获得过塞勒姆奖、克莱研究奖等奖项。
他在几何学、调和分析、拓扑学和组合学领域造诣颇深。2021年当选为美国国家科学院院士。
有点遗憾的是，拉里·古斯已经47岁，对于菲尔兹奖而言已经“超龄”（菲尔兹奖只颁发给40岁以下数学家）。
One More Thing
古斯和梅纳德的新论文一经发表，已经引发了不少关注。
网友们的热烈讨论中，同样有不少信息值得参考。
有网友po出了ζ函数的可视化网页，可以帮助理解新论文的内容。
而如果你对梅纳德其人其研究感兴趣，参考链接网友们也已总结到位了：https://news.ycombinator.com/item?id=40571995
论文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552
参考链接：[1]https://mathstodon.xyz/@tao/112557249982780815[2]https://news.ycombinator.com/item?id=40571995
— 完 —
黎曼猜想为什么必须证明啊。明显是对的
请证明“明显”
陶哲轩因什么尓获得菲尔兹数学奖
加州大学洛杉矶分校的陶哲轩，因调和分析、组合论、偏微分方程及解析数论等众多突破获奖。
解析数论的解析数论的发展
1896年,J.（-S.）阿达马与 la瓦莱-普桑严格地按照黎曼提出的方法和结果,用整函数理论,同时证明了素数定理：当x→∞时,π(x)～x(lnx)-1。 从此解析数论开始得到迅速发展，而在此以前的30年中却无显著进展。 在数论中应用分析方法，大致有两种情况：一是数论问题本身不涉及分析概念。 这类问题又可分为两种情形，或者有一些问题不应用分析方法就不能解决，例如，上述的狄利克雷的两个工作、三素数定理（见数论、堆垒数论）、华林问题；或者有一些问题应用分析方法可使证明简单、可以对问题做定量研究，例如，应用母函数法对整数分拆的一些恒等式的证明、欧拉证明素数有无穷多个的分析方法导致H.默滕斯证明了关于素数平均分布的三个定理、堆垒数论的许多问题引入分析方法证明解的存在性，得出解数的渐近公式或上下界估计。 二是数论问题本身必须用分析概念才能表达清楚。 例如，关于素数定理,即不大于x的素数个数π(x)等于多少的问题（见素数分布）。 此外，利用分析概念还可提出新的数论问题，例如各种数论函数的阶估计及均值估计（见格点问题）。 解决一个数论问题需要用到多深的分析工具，或者能否不用分析工具。 这也是数学家努力为之探索的问题。 例如，在1949年A.赛尔伯格与P.爱尔特希不利用ζ函数，且除了极限、ex和lnx的性质外,也不需要其他的分析知识，给出了素数定理一个十分初等的分析证明。 当然它是很复杂的。 解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究。 解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。 模形式论与解析数论有密切关系。
