新智元报道
编辑：编辑部
【新智元导读】 MIT数学教授Larry Guth和牛津大学菲尔兹奖得主James Maynard的一篇新论文获得了数学家陶哲轩的大力推荐，陶认为两人在证明黎曼猜想方面取得了重大突破，尽管离完全解决这一猜想还很遥远。
「千禧年七大数学难题」之一——黎曼猜想（Riemann hypothesis，RH），刚刚取得显著突破，数学家们距离摘取「猜想界的皇冠」又近了一步！
可以说，一直以来，「黎曼猜想」就像大海中的灯塔，为数学领域的发展指明方向。
很多数论和复变函数领域的工作都基于黎曼猜想为真这个前提，因此一旦证明了黎曼猜想，许多其他工作也会得到完整的证明。
5月31日，Larry Guth和James Maynard发表了他们的论文：「New Large Value Estimates for Dirichlet Polynomials」。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552
陶哲轩对这篇论文大加赞赏：
他认为这是历史性的时刻，「在黎曼猜想存在之后的八十年里，对这一约束的唯一推动就是对(1)误差的微小改进」。
尽管他也承认，「离完全解决这个猜想还很远」。
要知道，早在2008年，美国杨百翰大学的数学家Xian-Jin Li也曾在arxiv上发表过一篇论文，宣称证明了黎曼猜想。后被陶哲轩和法国数学家Alain Connes（均为菲尔兹奖得主）无情地指出了Li证明过程中的错误。
那么，这次Guth和Maynard的研究能得到陶哲轩的转发，可见其意义非凡了。
Guth-Maynard估计
如果令(σ,)表示实部至少为σ、虚部至多为的黎曼zeta函数的零点数量， 黎曼猜想告诉我们，对于任何σ>1/2，(σ,)都会消失，当然我们不能无条件地证明这一点。
但下一步，我们可以证明零密度估计，也就是(σ,)的非平凡上界。
事实证明，σ=3/4 是一个关键值。1940年，Ingham得出了一个结果——(3/4,)≪^{3/5+(1)}。
在接下来的八十年里，对该界限的唯一改进是对(1)误差的小幅改进。
这限制了我们在解析数论中做很多事情：例如，为了在(,+^)形式的几乎所有短区间内得到一个好的素数定理，我们长期以来一直被限制在>1/6 ，主要障碍是Ingham界限缺乏改进。
Guth和Maynard的最新研究成功改进了Ingham界限，从3/5=0.6降低到13/25=0.52。
这带来了解析数论的许多相应改进；例如，在几乎所有短区间内，可以证明的素数定理的范围从>1/6=0.166… 变为>2/15=0.133…（如果黎曼猜想为真，将意味着我们可以覆盖整个>0的范围）。
这些论证本质上主要基于傅立叶分析。 前几步是标准步骤，许多试图打破Ingham界限的分析数论学家都能认出这些步骤。
但他们有许多巧妙且出乎意料的操作，比如，通过将关键的相位矩阵^{}=^{log}提升到六次方来控制它（表面上看，这使问题变得更加复杂且棘手）；
以及，拒绝使用驻相法来简化某个复杂的傅里叶积分，从而在指数上让步，以保留一种最终证明比驻相近似更有用的因式分解形式；并根据Dirichlet级数大值出现的位置是否具有小、中或大的加法能量来划分情况，并对每种情况采用稍微不同的论证方法。
在这里，隐含在Dirichlet级数中的相位函数log的精确形式变得非常重要；这是利用解析数论中出现的特殊指数和的一种意想不到的方式，而不是在调和分析中可能遇到的更一般的指数和。
黎曼猜想
黎曼猜想起源于伟大的德国数学家高斯，他给出了一个公式，能够近似地预测出给定范围内的素数个数。
高斯
1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼改进了高斯的公式，发表在论文「论小于给定数值的质数个数」中，就成为了赫赫有名的「黎曼猜想」。
波恩哈德·黎曼
黎曼发现，质数的分布跟某个函数有密切关系：
在这个zeta函数中，s是复数，可以写成s=a+bi这样的形式，其中a表示实部，b表示虚部。
数学家们可以轻易证明，只要s的实部大于1，那么整个无穷级数里，把每一项的绝对值相加后，zeta函数会收敛并趋近于某个定值。
当s的实部小于1时，整个级数和可能会发散。为了让函数适用于更广的范围，黎曼把上面的zeta函数改写为：
当s为负偶数（s= -2, -4, -6…）时，函数值为零。这些s的值，就称为平凡零点。
此外还有另一些s的值，能够让黎曼zeta函数值为零，它们被称为非平凡零点。正是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影响。
到了这里，黎曼本人也无法证明了。
不过他做了一个猜测：zeta函数所有非平凡零点的实部都是1/2，或者说黎曼zeta函数在1/2
随后的数学家们，在前人的基础上继续前进。为此，数学家狄利克雷引入了狄利克雷L函数。
对于这个函数，也有一个猜想：狄利克雷L函数在1/2
更直观地说，根据zeta函数能够画出无穷多个点。黎曼猜测，这些点有一定的排列规律，一部分在一条横线上，另一部分则在一条竖线上，所有这些点都在这两条直线上排列，无一例外。
由于有无穷多个点，所以不能用枚举法证明所有的点都在这两条线上，因为永远也验证不完。
但是，只要有一个点不在这两条直线上，那就能推翻黎曼猜想。
数学家们已经使用计算机验证了最初的1亿亿个点，全都符合黎曼猜想的排列规律。
许多年来，许多数学家为了证明这个猜想前赴后继，但无一人能够捧回这个「数学界的圣杯」，甚至不乏有数学家为此而抱憾离世，将无尽的思考留给了后人。
美国数学家Hugh Montgomery甚至表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，大多数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。
论文介绍
在本文中，研究者证明了狄利克雷级数大值频率的新边界。
主要结果如下——
定理 1.1（大值估计）
假设
是一个 的自变数序列，而 是[0,T] 中的一个1-分隔点序列，使得对于所有r≤R，都有 。
这样就得到了 。
定理1.1的边界可以和 的边界做对比，这是结合了经典的狄利克特多项式均值定理和蒙哥马利-哈拉什-赫胥黎大值估计得出的。
定理1.2（零密度估计）
设N(o,T)表示 且 时Ç(s)的零点个数。 那么我们有 。
结合Ingham在ζ<7/10时的估计值，我们得到 。
指数30/13改善了之前由赫胥黎提出的指数12/5，这对短区间中的素数分布有如下推论。
推论1.3（短区间内的素数计数）
设 ，那么我们有 。
定理1.4（几乎所有短区间中的素数计数）
设 ， 则对于除 以外的所有 ，我们都有 。
作者介绍
发表这篇突破性论文的两位作者Larry Guth和James Maynard都是数学领域非常杰出的学者。
James Maynard从2018年起任教于牛津大学数学研究所。他本科毕业于剑桥大学，博士毕业于牛津大学，曾在蒙特利尔、UC伯克利、普林斯顿等学校进行博士后研究。
Maynard的研究主要关注解析数论，尤其是质数的分布，和黎曼猜想的内容非常契合。他常常借用组合学、分析和代数的思想，试图回答数论中的经典问题。
2022年，35岁的Maynard就因为对解析数论的贡献获得了菲尔兹奖。菲尔兹奖每四年颁发一次，且只授予40岁以下的学者，是年轻数学家所能企及的最高荣誉。
Larry Guth是MIT的一名数学教授，研究兴趣包括度量几何、组合几何和谐波分析。
从2012年到2017年，他在MIT开设过解耦理论、实数分析、傅里叶分析、流形几何等多门课程。现在还能在油管和MIT的网站上找到他的课程录像。
https://www.youtube.com/watch?v=i7iM72VdELI
Guth于2005年在MIT获得博士学位，曾在斯坦福大学进行博士后研究，并于2012年加入MIT数学系担任教授。曾被当选为美国数学学会、美国艺术与科学院、美国国家科学院的院士。
2015年Guth就获得了英国Clay数学研究所的研究奖，正是这个研究所将黎曼猜想列为「千禧年七大数学难题」之一。
参考资料：
https://mathstodon.xyz/@tao/112557248794707738
https://arxiv.org/abs/2405.20552
小炸弹通过美元制造遗传进化成B52航空炸弹，通过数亿美元制造遗传进化成癌基因原子弹爆炸死亡能量强大？
航空炸弹种类庞杂，各国的分类方法按各自习惯不尽相同。 中国按外形大小和质量，分为小型（50千克以下）、中型（100～500千克）、大型（1000千克以上）航空炸弹；按有无控制能力，分为制导与非制导航空炸弹；按弹形，分为高阻、低阻和减速型航空炸弹；按装药性质，分为普通航空炸弹、特种航空炸弹和特殊装药的非常规航空炸弹（如化学炸弹、生物炸弹、核炸弹等）；按毁伤特性，分为常规航空炸弹和非常规航空炸弹；按战术功用，分为主要用途航空炸弹和辅助用途航空炸弹。 主要用途航空炸弹用于直接摧毁、破坏、杀伤目标，有爆破炸弹、杀伤炸弹、杀伤爆破炸弹、燃烧炸弹、爆破燃烧炸弹、穿甲炸弹、反坦克炸弹、反潜艇炸弹、深水炸弹、反跑道炸弹、油气炸弹、子母炸弹、化学炸弹、生物炸弹和各种核炸弹等。 辅助用途航空炸弹用于辅助瞄准轰炸和完成某项专门任务，有照明炸弹、照相炸弹、烟幕炸弹、标志炸弹等。 航空炸弹简称为航弹，俗称炸弹，是从航空器上投掷的一种爆炸性武器，是轰炸机和战斗轰炸机，攻击机携带的主要武器之一。 遗传算法遗传 （生物进化过程的计算模。 最早是由美国的 John holland于20世纪70年代提出,该算法是根据大自然中生物体进化规律而设计提出的。 是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。 该算法通过数学的方式,利用计算机仿真运算,将问题的求解过程转换成类似生物进化中的染色体基因的交叉、变异等过程。 在求解较为复杂的组合优化问题时,相对一些常规的优化算法,通常能够较快地获得较好的优化结果。 遗传算法已被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等领域。 爆炸：在极短时间内，释放出大量能量，产生高温，并放出大量气体，在周围介质中造成高压的化学反应或状态变化，同时破坏性极强。 在较短时间和较小空间内，能量从一种形式向另一种或几种形式转化并伴有强烈机械效应的过程。 普通炸药爆炸是化学能向机械能的转化；核爆炸是原子核反应的能量向机械能的转化；这时在短时间内会聚集大量的热量，使气体体积迅速膨胀，就会引起爆炸。 爆炸是一种极为迅速的物理或化学的能量释放过程。 在此过程中，空间内的物质以极快的速度把其内部所含有的能量释放出来，转变成机械功、光和热等能量形态。 所以一旦失控，发生爆炸事故，就会产生巨大的破坏作用。 爆炸发生破坏作用的根本原因是构成爆炸的体系内存有高压气体或在爆炸瞬间生成的高温高压气体。 爆炸体系和它周围的介质之间发生急剧的压力突变是爆炸的最重要特征，这种压力差的急剧变化是产生爆炸破坏作用的直接原因。
顶级数学家有多厉害？
数学是一个非常考验智力的科目，也是所有科学的基础，顶级的数学家都是智商超群。
在人类历史上，有个别超一流数学家，仅凭个人之力，就把数学的发展进程推进了几十年甚至几百年，给人类留下丰富的遗产，比如下面几位。
欧拉
数学英雄欧拉，在数学领域有着非常多的贡献，他对数学的灵感和操控技巧，让世人敬佩不已，让欧拉一举成名的是一个级数————巴塞尔级数。
在欧拉之前，巴塞尔级数问题困扰了数学界一个多世纪，莱布尼茨是微积分的发明者之一，数学技巧上可谓登峰造极，加上有了微积分这一工具，他对数学级数的操控可谓随心应手，莱布尼茨甚至还对他的朋友惠更斯说：对于任何收敛的无穷级数，只要其中各项遵循一定规律，我就一定能求出和来。
然后在1673年，英国数学家佩尔拿出巴塞尔级数，一下把莱布尼茨镇住了，无论莱布尼茨如何绞尽脑汁，也没有求出巴塞尔级数之和。
然后在1734年，27岁的欧拉，突然就把这个问题解决了，为什么说突然呢？我们来看欧拉解决巴塞尔级数的方法：
整个过程只用到了两个简单的数学知识，只是欧拉使用的技巧太巧妙了，相信能看懂该证明过程的人，无不对欧拉超凡智慧敬佩不已。
黎曼
德国数学家黎曼，是大数学家高斯的学生，都说名师出高徒，高斯的这个学生是真不简单，他开创了黎曼几何、解析数论等等新领域。
1859年，黎曼被选为柏林科学院院士，为了表达感激，黎曼向柏林科学院提交了一篇名为“论小于给定数值的素数个数”的论文，正是该论文，让接下来的数学家忙碌了一百多年，其中有些黎曼看起来理所当然的结论，到现在还未解决。
这篇论文短短几页，一共出现6个猜想，然而好像黎曼并未把它们看作猜想，而是以“显而易见”等等词汇提出来，或者直接拿来用不做任何解释；后来的几十年里，有五个猜想被其他数学家单独证明出来，其中有些数学家还因此获得菲尔兹奖，然而最后一个猜想到现在还未证明，这就是大名鼎鼎的黎曼猜想。
这足以看出，黎曼是远远超过那个时代的数学家，还有他创立的黎曼几何，成为后来广义相对论的数学基础。
庞加莱
庞加莱是法国著名的数学家、物理学家，是公认的全才人物，也是19世纪末二十世纪初的数学领袖人物，庞加莱从小就是天才，学习知识的能力让世人震惊。
庞加莱在6岁就熟练掌握了七门语言，超凡的记忆力能让他清楚背出书本中某个知识点在几行几页，1870年爆发了普法战争，庞加莱为了解时局，只花了一周就学会了德文，有人评价庞加莱说：他的存在，就是证明天才是存在的，别人努力一辈子，他只需要努力一下子。
陶哲轩
陶哲轩是当今还在世的一位数学家，拥有极高的智商，4岁时他在幼儿园就把全部小学课程学完，7岁自学微积分，12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌，15岁取得硕士学位，21岁取得博士学位，31岁获得菲尔兹奖。
目前数学领域已经高度细化，对数学家来说掌握所有数学领域的知识几乎是不可能的事，然而陶哲轩却是个例外，他在数学的很多领域有突破，被喻为“数学界的莫扎特”。
顶级数学家可以“恐怖”到什么程度？
数学是一个非常考验智力的科目，也是所有科学的基础，顶级的数学家都是智商超群。
在人类历史上，有个别超一流数学家，仅凭个人之力，就把数学的发展进程推进了几十年甚至几百年，给人类留下丰富的遗产，比如下面几位。
欧拉
数学英雄欧拉，在数学领域有着非常多的贡献，他对数学的灵感和操控技巧，让世人敬佩不已，让欧拉一举成名的是一个级数————巴塞尔级数。
在欧拉之前，巴塞尔级数问题困扰了数学界一个多世纪，莱布尼茨是微积分的发明者之一，数学技巧上可谓登峰造极，加上有了微积分这一工具，他对数学级数的操控可谓随心应手，莱布尼茨甚至还对他的朋友惠更斯说：对于任何收敛的无穷级数，只要其中各项遵循一定规律，我就一定能求出和来。
然后在1673年，英国数学家佩尔拿出巴塞尔级数，一下把莱布尼茨镇住了，无论莱布尼茨如何绞尽脑汁，也没有求出巴塞尔级数之和。
然后在1734年，27岁的欧拉，突然就把这个问题解决了，为什么说突然呢？我们来看欧拉解决巴塞尔级数的方法：
整个过程只用到了两个简单的数学知识，只是欧拉使用的技巧太巧妙了，相信能看懂该证明过程的人，无不对欧拉超凡智慧敬佩不已。
黎曼
德国数学家黎曼，是大数学家高斯的学生，都说名师出高徒，高斯的这个学生是真不简单，他开创了黎曼几何、解析数论等等新领域。
1859年，黎曼被选为柏林科学院院士，为了表达感激，黎曼向柏林科学院提交了一篇名为“论小于给定数值的素数个数”的论文，正是该论文，让接下来的数学家忙碌了一百多年，其中有些黎曼看起来理所当然的结论，到现在还未解决。
这篇论文短短几页，一共出现6个猜想，然而好像黎曼并未把它们看作猜想，而是以“显而易见”等等词汇提出来，或者直接拿来用不做任何解释；后来的几十年里，有五个猜想被其他数学家单独证明出来，其中有些数学家还因此获得菲尔兹奖，然而最后一个猜想到现在还未证明，这就是大名鼎鼎的黎曼猜想。
这足以看出，黎曼是远远超过那个时代的数学家，还有他创立的黎曼几何，成为后来广义相对论的数学基础。
庞加莱
庞加莱是法国著名的数学家、物理学家，是公认的全才人物，也是19世纪末二十世纪初的数学领袖人物，庞加莱从小就是天才，学习知识的能力让世人震惊。
庞加莱在6岁就熟练掌握了七门语言，超凡的记忆力能让他清楚背出书本中某个知识点在几行几页，1870年爆发了普法战争，庞加莱为了解时局，只花了一周就学会了德文，有人评价庞加莱说：他的存在，就是证明天才是存在的，别人努力一辈子，他只需要努力一下子。
陶哲轩
陶哲轩是当今还在世的一位数学家，拥有极高的智商，4岁时他在幼儿园就把全部小学课程学完，7岁自学微积分，12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌，15岁取得硕士学位，21岁取得博士学位，31岁获得菲尔兹奖。
目前数学领域已经高度细化，对数学家来说掌握所有数学领域的知识几乎是不可能的事，然而陶哲轩却是个例外，他在数学的很多领域有突破，被喻为“数学界的莫扎特”。
