新智元报道
编辑：庸庸 乔杨
【新智元导读】 陶哲轩在最新的采访中，系统地谈到了AI可能会对数学领域产生的影响。他乐观地认为，使用Lean等工具「形式化」数学，在AI的辅助下实现规模化生产——一次证明数百或数千条定理。但他也审慎地预测，数学问题在短期内不会像国际象棋一样被「解决」，但有可能会提高人类科学家的洞察力。
数学历来是一门孤独的科学。
1986 年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）为了证明费马大定理，遁入书斋长达七年之久。
数学家苦心孤诣得到的证明往往让同行难以理解，有些证明至今仍有争议。
但近年来，越来越多的数学领域被严格分解成各个组成部分，我们称之为「形式化」（formalized），这就可以让计算机来检查和验证数学证明。
菲尔兹奖得主、加州大学洛杉矶分校教授陶哲轩坚信，这些方法为数学领域的合作开辟了全新的可能性。
如果再加上人工智能的最新进展，在未来几年里，数学领域可能会出现全新的工作方式。
在计算机的帮助下，一些重大问题可能会被更快解决。
陶哲轩在接受《科学美国人》的德语姊妹刊物Spektrum der Wissenschaft的采访时阐述了他对未来的看法。
以下是采访实录——
「互不信任」的数学家通过AI建立合作
您在旧金山举行的联合数学会议上的一次演讲中，似乎暗示数学家之间互不信任。您这么说是什么意思？
我的意思是，你很难与素未谋面的人合作，除非你能逐行检查他们的作品。通常情况下，五个人是最多的合作人数。
随着自动校验器的出现，这种情况会发生怎样的变化？
现在，你真的可以与数百名素不相识的人合作。你不需要信任他们，因为他们上传代码，Lean编译器就会验证。你可以做比我们通常做的更大规模的数学。
当我用所谓的多项式（PFR）猜想形式化我们最近的成果时，我与20 多人一起工作。我们把证明分成了很多小步骤，每个人都为其中的一个小步骤贡献了证明。
我不需要逐行检查这些贡献是否正确。我只需要对整件事进行管理，确保一切都朝着正确的方向发展。这是一种不同的数学方式，一种更现代的方式。
陶哲轩借助Lean 4成功完成PFR猜想的证明
德国数学家、菲尔兹奖得主Peter Scholze参与了一个 项目，尽管他告诉我，他对计算机并不了解。
在这些形式化项目中，并非每个人都需要成为程序员。有些人可以只专注于数学方向，你只是把一个大的数学任务分割成许多小块；有些人则专门负责把这些小部分转化为形式化证明。
我们不需要每个人都成为程序员，我们只需要一些人成为程序员。这是一种分工。
Peter Scholze的液体张量实验采用Lean 3作为项目背后的引擎
Lean将数学「形式化」
20 年前，我听说过机器辅助证明，当时它还是一个非常理论化的领域。每个人都认为，你必须从头开始——将公理形式化，然后做基础几何或代数，而要想进入高等数学，这超出了人们的想象。是什么让形式数学变得实用？
变化之一是标准数学库的开发。尤其是Lean。
有一个名为mathlib的庞大项目，所有本科数学的基本定理，如微积分和拓扑学等，都被一一收录到这个库中。
人们已经投入了大量的工作，将公理提升到相当高的水平。我们的梦想是把数学库真正提升到研究生教育的水平。这样，数学的形式化就会容易得多。
我们还期待有更好的搜索方法，因为如果你想证明某件事情，你必须能够找到有关的已经被证实为真的东西。因此，开发真正智能的搜索引擎也是一项重大的新进展。
所以这不是计算能力的问题？
不，一旦我们正式确定了整个PFR项目，编译验证只需要半个小时。这并不是瓶颈，瓶颈在于如何让人类使用它，如何提高可用性和用户友好度。
现在，我们已经有了一个由数千人组成的大型社区，而且还有一个非常活跃的在线论坛来讨论如何让这门语言变得更好。
Lean是目前最先进的系统，还是有其他与之竞争的系统？
Lean可能是最活跃的社区。对于单作者项目来说，也许有其他一些语言略胜一筹，但总体而言，Lean更容易上手。而且它有一个非常不错的库和一个不错的社区。它最终可能会被其他语言取代，但现在它是主流的正式语言。
形式化数学的困境和发展
当你谈论一个不同的数学项目时，有人曾问你是否想把它形式化，你基本上是说这需要太长时间。
我可以将其形式化，但这需要花费我一个月的时间。现在，我认为我们还没有到把所有事情都进行形式化的地步，你必须精挑细选。但技术会越来越好。
因此，我认为在很多情况下，更明智的做法是等到它变得更容易的时候再去做。与其现在花10倍的时间去形式化，不如等待形式化技术的发展，到只需要传统方法一半时间的时候，再去使用。
你甚至说过要把这个系数降到1以下（形式化不比传统方法更费时）。
人工智能确实有可能做到这一点。我认为，在未来，我们不用再把证明打出来，而是直接与某个GPT交互。而GPT会在你进行的过程中，尝试用Lean将其形式化。
如果一切顺利，GPT 会说：「这是你的LaTeX论文，这是你的Lean证明，如果你愿意，我可以按下这个按钮，帮你把它提交给期刊」。未来，它可能会成为一个出色的助手。
到目前为止，证明的想法仍然必须来自人类数学家，不是吗？
是的，形式化的最快方法就是先找到人类的证明。人类提出想法和证明的初稿，然后再把它转换成形式化的证明。
在未来，也许情况会有所不同。可能存在一些我们不知道如何证明整个事情的合作项目，但人们已经有了如何证明小部分内容的想法，他们会把这些想法形式化，并尝试把它们组合在一起。
我可以想象，将来一个大定理会由20个人和一群AI共同证明。随着时间的推移，它们会建立联系，你就能创造出一些奇妙的东西。
这将是伟大的，但要实现这一点，还需要很多年。技术还不成熟，部分原因是形式化现在非常痛苦。
马斯克等人共同创办的xAI公司，他们告诉我，两三年后，数学将像国际象棋一样被「解决」——机器将比人类更擅长寻找证明。
我认为，三年后，AI将对数学家有用，它将成为一个出色的co-pilot（副驾驶员）。
你试图证明一个定理，有一步你认为是正确的，但你不太明白它是如何正确的，你可以说，「人工智能，你能帮我做这个吗？」 它可能会说 「我想我能证明这一点」。
但我不认为数学会被「解决」。如果AI再有重大突破，那是有可能的。
但我想说的是，在三年内，你会看到显著的进步，而且实际使用人工智能会变得越来越容易管理。
举例来说，现在我们一次证明一件事。这就像工匠们在制作木制玩偶之类的东西。你拿起一个玩偶，非常仔细地给所有东西上色，然后再拿起另一个。
我们做数学的方式并没有多大改变。但其他所有学科中都存在批量生产。
有了AI，我们可以一次证明数百或数千条定理，人类数学家将指导AI做各种事情。因此，我认为研究数学的方式将会改变，但他们（xAI）的时间框架可能有点激进。
2018年Peter Scholze获得菲尔兹奖时，我采访了他。我问他，有多少人理解你在做什么？他说大约有10人。
在形式化项目中，我们注意到，你可以与那些不理解整个项目但理解其中一部分的人合作。
这就像任何现代设备一样。没有一个人可以独立制造一台计算机，开采所有的金属并加以提炼，然后制造硬件和软件。我们拥有不同方向的专家，我们有庞大的物流供应链，最终我们可以制造出智能手机或其他产品。
现在，在数学合作中，每个人都必须知道几乎所有的数学知识，正如Scholze提到的，这是一个绊脚石。
但是，有了形式化验证的方法，我们就有可能把一个项目分门别类，只需要知道其中的一部分就能为项目做出贡献。
我认为我们还应该开始将教科书形式化，这样可以有更强的交互性。
你可以假定其中包含很多知识，从非常高层次的意义上描述一个结果的证明。但如果有一些步骤你不理解，你可以扩展它们并深入细节，可以一直深入到公理级别。
然而现在没有人在教科书中这样做，因为太费事了。但如果你已经将其形式化，计算机就可以为你创建这些交互式教科书。
这将使一个领域的数学家更容易开始为另一个领域做出贡献，因为你可以精确地指定一个大任务的子任务，而不需要理解所有的东西。
数学家与AI互动
数学证明不仅仅是为了证明某件事情是正确的，也是为了理解某些东西，对吗？有优美的证明，也有技术性很强但却丑陋的证明。好的证明能让你对问题有更深的理解。那么，如果我们把这个任务交给机器，我们还能理解它们发现的东西吗？
数学家正在做的是，探索什么是真的，什么是假的，以及为什么事情是真的。我们的方法就是通过证明。
每个人都知道，当它是真的时候，我们必须去尝试证明它或反驳它，这需要很多时间，也很乏味。
但在未来，也许我们只需要问AI「这是真的还是假的」？
这样我们就能更有效地探索这个空间，我们就能把精力集中在我们真正关心的事情上。AI将加速这一过程，为我们提供很大帮助。
我们仍然要自己「驾驶」，AI只是co-pilot，至少现在是这样，也许50年后情况会有所不同。但在短期内，人工智能将首先把无聊、琐碎的事情自动化。
人工智能能否帮助我们解决数学中尚未解决的重大问题？
如果你想证明一个尚未解决的猜想，首先要做的一件事就是把它分解成更小的部分，每个部分都有更大的机会被证明。
但你往往会把一个问题分解成更难的问题。将一个问题转化为更难的问题比转化为更简单的问题要容易得多。在这方面，人工智能并没有表现出比人类更好的能力。
在分解问题和探索问题的过程中，你也会学到很多新东西。例如，费马大定理是一个关于自然数的简单猜想，但为证明它而发展的数学却不一定是关于自然数的了。因此，解决证明问题远不止证明这一个实例。
假设人工智能提供了一个难以理解的、丑陋的证明。那么你就可以使用它，分析它。假设这个证明使用了10个假设来得到一个结论，你可以这样思考——如果我删除一个假设，这个证明还有效吗？
这是一门还没有真正存在的科学，因为我们还没有那么多人工智能生成的证明，但我认为将会出现一种新型数学家，他们会利用人工智能生成的数学，使其更易于理解。
就像我们有理论科学和实验科学一样。我们通过经验发现了很多东西，但随后我们做了更多实验，发现了自然规律。
我们现在的数学还做不到这一点。但我认为，未来会有一批人试图从人工智能证明中提取洞察力，而这些证明最初并没有任何洞察力。
因此，与其说这是数学的终结，不如说是数学的光明未来？
我认为会有不同的方法来研究数学，只是这些方法目前还不存在。
我可以看到项目经理式的数学家，他们可以组织非常复杂的项目，他们不能理解全部的数学，但他们可以把事情分成小块，然后委托给其他人，他们有很好的人际交往能力。
此外，还有一些在子领域工作的专家。有些人擅长在特定类型的数学上训练人工智能，有些人则能将人工智能的证明转化为人类可读的东西。
数学领域的运作方式将变得更像几乎任何其他现代行业。比如，在新闻业，并不是每个人都拥有相同的技能，于是有各种职业分工，编辑、记者、商务经理等等。这个领域最终也会出现类似的情况。
我们所研究的数学就是与我们的大脑相匹配的数学，不是吗？如果未来人工智能变得如此聪明，会不会让人类数学家难以理解？
数学已经超越了任何一个人类的思维。数学家通常依赖别人已经证明的结果。他们知道为什么它是真的，他们有一些直觉，但他们不能把它分解成公理。但他们知道去哪里找，或者他们知道谁能找到。
我们已经有很多定理只能通过计算机来验证，一些庞大的计算机计算已经检查了一百万个案例。你可以手工验证，但没人有时间去做，也不值得。
所以，我认为我们会适应的。一个人没有必要检查所有的东西。让电脑来帮我们核对，这对我来说很好。
在数学的最前沿，有很多看似毫不相干的领域的东西被整合在一起，根据我粗浅的理解，一个了解所有这些领域的人工智能可以给你一个提示，然后说：「你为什么不看看那里呢？这也许能帮你解决问题」。
利用人工智能建立联系或至少指出可能的联系，这是一个非常令人兴奋的潜在用途。现在，它的成功率很低。它可能会给你10 建议，其中1个是有趣的，9个是废品。实际上，这几乎比随机还糟糕。但这在未来可能会改变。
训练数学人工智能会遇到哪些问题？
部分问题在于它没有足够的数据来进行训练。网上有一些发表的论文，可以用来训练。但我认为，很多灵感并不是在期刊上的论文中捕捉到的，而是在与数学家的对话、讲座以及我们给学生提供建议的过程中捕捉到的。
有时我开玩笑说，我们需要做的是让GPT接受标准的研究生教育，坐在研究生课堂上，像学生一样提问，像人类学习数学一样学习。
公开发表的证明总是浓缩的。即使把人类历史上发表过的所有数学知识都算上，与这些模型所需要的训练数据相比，仍然是小巫见大巫。
人们只发表成功的故事，但真正珍贵的数据来自于尝试。可能起初不太成功，但解决的过程更有价值。然而，大家只公布成功的研究结果，不公布研究的过程。
也许我们应该对证明某事的努力进行登记，就像医学研究一样。研究人员将证明进行登记，即使没有成功，他们也必须将其公布于众。
我们没有这种文化。也许在未来，形式化会变得非常高效，你可以实时地将事情形式化。
如果你想在一个研究项目中使用某个2040年的高级人工智能Lean，并想获得资金来使用这个高级人工智能，你必须同意你的尝试和失败过程都会被记录下来。
然后，这可以用来训练未来的人工智能。或者，其他小组也在研究类似的问题，他们可以看到「哦，其他小组也尝试过同样的事情，但他们失败了」，这样你就不必浪费时间犯一模一样的错误了。
数学家是否在浪费大量时间？
的确如此。如此多的知识不知何故被困在个别数学家的头脑中，只有极少部分被清楚地呈现。我们越是形式化，越多的隐性知识就会显性化，这将带来意想不到的好处。
参考资料：
https://www.scientificamerican.com/article/ai-will-become-mathematicians-co-pilot/
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