6月30日，《张朝阳的物理课》二百一十五期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇直播间开启讲题模式，从解微分方程的角度解析2024年山东高考物理卷压轴题，给广大高中学子解电磁学难题打开了新世界的大门。
问题描述
如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，角OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在
的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调。粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
(1)求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压
(2)调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
(3)当加速电压为
时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
题目示意图
张朝阳介绍解读题目
第一问和第二问解题步骤
“对于第一问题和第二问题快速走过”，张朝阳说，“这是帮助你在算一算的过程中，对整个问题有所了解。”
第一问中，粒子从粒子加速器中出来，经过加速电压之后，垂直入射到磁场区域，即垂直于y轴，再垂直从小孔K出射，即垂直于MN，如图所示。可以直观看到这就是一个几何问题。
粒子入射到磁场区域后，洛伦兹力充当向心力，因此
得带电粒子的半径为
从下图中可以看到，此时粒子运动的半径为L/2，即有
解得带电粒子的速度为
加速电场中满足动能定理
由此解得加速电压为
张朝阳计算第一问的结果
第二问分成两个部分，首先要求最小的速度，粒子在此速度下从小孔K射出去，接着在洛伦兹力和电场力的作用下平衡，电荷以匀速的方式在第一象限中运动。通过这两个步骤，可分别求出在经过加速电压后的速度大小，以及从从小孔K射出去之后电场的方向及大小。
从第一问求出的结论
可知速度越小半径越小。经过加速电压之后，为了保证能够从小孔K出射以及入射垂直于y轴，为了使半径最小，只有如图所示的情况才能满足这三个条件。此时圆的半径可由几何条件得出
确定最小半径
张朝阳推导最小半径
与上式结合，可求出在三角形区域△OMN内的速度大小为
从小孔K 出射时，方向沿y轴正方向。由动能定理，同样可得到加速电压的大小为
此刻的加速电压比第一问中的小，为其1/4。当从小孔K 出射时，会产生一个沿着x轴负方向的洛伦兹力，而根据题意，需要一个沿着x轴正方向的电场力才能使粒子保持力平衡，让其沿着y轴正方向做匀速运动，电场强度的大小为
这里我们用了电场力和洛伦兹力平衡的条件以及上面计算出的速度大小。因此这个电场强度的大小为
方向沿着x轴正方向。
确定电场方向
第三问
第三问中给出的加速电压为
此电压加速粒子，粒子得到的速度大小介于第一问和第二问之间。由动能定理得入射到三角形区域的速度大小为
在三角形OMN 区域洛伦兹力提供向心力，由第一问可知运动的半径为
代入速度大小的表达式得
如图所示，我们计算出射时θ为锐角时的情况。从图中的几何关系可以看到
由此可得角度θ为
上面已经计算出速度大小为
粒子以此速度从小孔K出射出去，此时我们定义为t=0时刻。由此可得初始位置和初始速度为
将洛伦兹力写成分量形式：
则通过牛顿第二定律
三个分量给出三个方程
对于z方向，我们有
而对另外两个方程再关于时间t求导，得到
即
其中我们代入了第二问求出来的电场强度大小
第一个方程这与谐振子方程一致，第二个方程可通过变换
同样可以化成谐振子方程
两个方程的解为
其中圆频率ω为
常数
为待定系数。由加速度关系
得到
在t=0时，化简为
此外，初始速度条件为
因此这些常数为
也就是说
再积分可得位置
由初始位置得到
从中可以看出离y轴最近的距离为
张朝阳用解微分方程的方法计算出第三问的结果
如下图所示，此为粒子的轨迹图。
粒子轨迹图
实际上，按照高中的方法，这一题可以用配速法分解运动求解。我们看到初始速度
其中y轴方向的速度产生的洛伦兹力正好与x轴方向的电场抵消，这也是第二问的结论。那么这个粒子将沿y轴正方向做匀速直线运动。而x轴方向的速度会使粒子做沿着x轴方向的简谐运动。这个运动的振幅正好等于x轴方向的速度产生的洛伦兹力所做的圆周运动半径，即
最后，加上x轴方向的初始位置
可以得到离y轴最近的距离为
张朝阳用高中的方法求解第三问
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针对就“如何学好物理”，这一问题提出几点具体的学习方法。 （一）三个基本。 基本概念要清楚，基本规律要熟悉，基本方法要熟练。 关于基本概念、基本规律要熟悉它们是怎么来的？为什么要引入？它有什么用？它的物理意义是什么？和那些其他物理量相似或类同？与谁有联系？怎样记忆它？等等。 再谈一个问题，属于三个基本之外的问题。 就是我们在学习物理的过程中，总结出一些简练易记实用的推论或论断，对帮助解题和学好物理是非常有用的。 如，“沿着电场线的方向电势降低”；“同一根绳上张力相等”；“加速度为零时速度最大”；“洛仑兹力不做功”等等。 （二）独立做题。 要独立地（指不依赖他人），保质保量地做一些题。 题目要有一定的数量，不能太少，更要有一定的质量，就是说要有一定的难度。 任何人学习数理化不经过这一关是学不好的。 独立解题，可能有时慢一些，有时要走弯路，有时甚至解不出来，但这些都是正常的，是任何一个初学者走向成功的必由之路。 （三）物理过程。 要对物理过程一清二楚，物理过程弄不清必然存在解题的隐患。 题目不论难易都要尽量画图，有的画草图就可以了，有的要画精确图，要动用圆规、三角板、量角器等，以显示几何关系。 画图能够变抽象思维为形象思维，更精确地掌握物理过程。 有了图就能作状态分析和动态分析，状态分析是固定的、死的、间断的，而动态分析是活的、连续的。 （四）上课。 上课要认真听讲，不走思或尽量少走思。 不要自以为是，要虚心向老师学习。 不要以为老师讲得简单而放弃听讲，如果真出现这种情况可以当成是复习、巩固。 尽量与老师保持一致、同步，不能自搞一套，否则就等于是完全自学了。 入门以后，有了一定的基础，则允许有自己一定的活动空间，也就是说允许有一些自己的东西，学得越多，自己的东西越多。 （五）笔记本。 上课以听讲为主，还要有一个笔记本，有些东西要记下来。 知识结构，好的解题方法，好的例题，听不太懂的地方等等都要记下来。 课后还要整理笔记，一方面是为了“消化好”，另一方面还要对笔记作好补充。 笔记本不只是记上课老师讲的，还要作一些读书摘记，自己在作业中发现的好题、好的解法也要记在笔记本上，就是同学们常说的“好题本”。 辛辛苦苦建立起来的笔记本要进行编号，以后要经学看，要能做到爱不释手，终生保存。 （六）学习资料。 学习资料要保存好，作好分类工作，还要作好记号。 学习资料的分类包括练习题、试卷、实验报告等等。 作记号是指，比方说对练习题吧，一般题不作记号，好题、有价值的题、易错的题，分别作不同的记号，以备今后阅读，作记号可以节省不少时间。 （七）时间。 时间是宝贵的，没有了时间就什么也来不及做了，所以要注意充分利用时间，而利用时间是一门非常高超的艺术。 比方说，可以利用“回忆”的学习方法以节省时间，睡觉前、等车时、走在路上等这些时间，我们可以把当天讲的课一节一节地回忆，这样重复地再学一次，能达到强化的目的。 物理题有的比较难，有的题可能是在散步时想到它的解法的。 学习物理的人脑子里会经常有几道做不出来的题贮存着，念念不忘，不知何时会有所突破，找到问题的答案。 （八）向别人学习。 要虚心向别人学习，向同学们学习，向周围的人学习，看人家是怎样学习的，经常与他们进行“学术上”的交流，互教互学，共同提高，千万不能自以为是。 也不能保守，有了好方法要告诉别人，这样别人有了好方法也会告诉你。 在学习方面要有几个好朋友。 （九）知识结构。 要重视知识结构，要系统地掌握好知识结构，这样才能把零散的知识系统起来。 大到整个物理的知识结构，小到力学的知识结构，甚至具体到章，如静力学的知识结构等等。 （十）数学。 物理的计算要依靠数学，对学物理来说数学太重要了。 没有数学这个计算工具物理学是步难行的。 大学里物理系的数学课与物理课是并重的。 要学好数学，利用好数学这个强有力的工具。 （十一）体育活动。 健康的身体是学习好的保证，旺盛的精力是学习高效率的保证。 要经常参加体育活动，要会一种、二种锻炼身体的方法，要终生参加体育活动，不能间断，仅由兴趣出发三天打鱼两天晒网地搞体育活动，对身体不会有太大好处。 要自觉地有意识地去锻炼身体。 要保证充足的睡眠，不能以减少睡觉的时间去增加学习的时间，这种办法不可取。 不能以透支健康为代价去换取一点好成绩，不能动不动就讲所谓“冲刺”、“拼搏”，学习也要讲究规律性，也就是说总是努力，不搞突击
